위상 정렬(Topology Sort) [Python / 파이썬]

1. 위상 정렬 

위상 정렬(Topology Sort)은 정렬 알고리즘의 일종으로 위상 정렬은 방향 그래프의 모든 노드를 '방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것'이다.

 

주어진 방향 그래프에서 위상 정렬을 수행하는 구체적인 알고리즘을 살펴보자.

• 진입 차수가 0인 노드를 큐에 넣는다.
• 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복한다.
  • 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 출발하는 간선을 그래프에서 제거한다.
  • 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.

 

위와 같은 알고리즘을 이용하여 간단하게 위상 정렬을 수행할 수 있다. 알고리즘에서 확인할 수 있듯이 큐가 빌 때까지 큐에서 원소를 계속 꺼내서 처리하는 과정을 반복한다. 이때 모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재한다고 판단할 수 있다.

위와 같이 사이클이 생기는 그래프의 경우 진입차수가 0인 원소가 없기 때문에 어떠한 원소도 큐에 들어가지 못한다.

때문에 위상정렬을 사용하여야 하는 문제의 경우 사이클이 발생하지 않는다고 명시하는 경우가 많다. 

 

다음의 그래프를 예시로 위상 정렬의 수행과정을 이해해 보자.

 

 

step0 초기 단계에서는 진입 차수가 0인 노드를 큐에 넣는다. 현재 노드 1의 진입차수가 0이기 때문에 큐에 노드 1만 삽입한다. 큐에 삽입된 노드는 그림처럼 색을 다르게 표현했다.

 

노드	1	2	3	4	5	6	7
진입차수	0	1	1	2	1	2	1

큐

노드 1

 

 

step1 먼저 큐에 들어 있는 노드 1을 꺼낸다. 이제 노드 1과 연결되어 있는 간선들을 제거한다. 그러면 새롭게 노드 2와 노드 5의 진입차수가 0이 된다. 따라서 노드 2와 노드 5를 큐에 삽입한다. 처리된 노드와 간선은 점선으로 표기하였다.

 

노드	1	2	3	4	5	6	7
진입차수	0	0	1	2	0	2	1

큐	노드 2, 노드 5

 

 

step2 그 다음 큐에 들어 있는 노드 2를 꺼낸다. 이제 노드 2와 연결되어 있는 간선들을 제거한다. 그러면 새롭게 노드 3의 진입 차수가 0이 된다. 따라서 노드 3을 큐에 삽입한다.

 

노드	1	2	3	4	5	6	7
진입차수	0	0	0	2	0	1	1

큐	노드 5, 노드 3

 

이후 동일한 과정이 큐가 빌 때까지 반복되므로 생략한다.

이 과정을 수행하는 동안 큐에서 빠져나간 노드를 순서대로 출력하면, 그것이 바로 위상 정렬을 수행한 결과가 된다. 위상 정렬의 특징은 위상 정렬의 답안은 여러 가지가 될 수 있다는 점이다. 만약 step1과 같이 한 단계에서 큐에 새롭게 들어가는 원소가 2개 이상인 경우가 있다면, 여러 가지의 답이 존재하게 된다. 위 예시에서는 1 - 2 - 5 - 3 - 6 - 4 - 7이 하나의 답이 될 수 있으며, 1 - 5 - 2 - 3 - 6 - 4 - 7 또한 하나의 답이 될 수 있다.

 

1.1 구현 소스 코드

from collections import deque

# 노드의 개수와 간선의 개수를 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화
graph = [[] for i in range(v + 1)]

# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a].append(b) # 정점 A에서 B로 이동 가능
    # 진입 차수를 1 증가
    indegree[b] += 1

# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
    result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
    q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용

    # 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
    for i in range(1, v + 1):
        if indegree[i] == 0:
            q.append(i)

    # 큐가 빌 때까지 반복
    while q:
        # 큐에서 원소 꺼내기
        now = q.popleft()
        result.append(now)
        # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
        for i in graph[now]:
            indegree[i] -= 1
            # 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
            if indegree[i] == 0:
                q.append(i)

    # 위상 정렬을 수행한 결과 출력
    for i in result:
        print(i, end=' ')

topology_sort()


'''
[Input Example 1]
7 8 #노드의 갯수와 간선의 갯수
1 2 
1 5
2 3
2 6
3 4
4 7
5 6
6 4
[Output Example 1]
1 2 5 3 6 4 7 #위상정렬 결과
'''

---

2. 위상 정렬의 시간 복잡도

위상 정렬의 시간 복잡도는 O(V + E)이다. 위상 정렬을 수행할 때는 차례대로 모든 노드를 확인하면서, 해당 노드에서 출발하는 간선을 차례대로 제거해야 한다. 결과적으로 노드와 간선을 모두 확인한다는 측면에서 O(V + E)의 시간이 소요된다.