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1. 고유값(EigenValue)와 고유 벡터(EigenVector)의 정의
0이 아닌 벡터\(\overrightarrow{x}\)를 임의의 \(n\times n\) 행렬 \(A\)로 선형 변환 하였을때 벡터 \(\overrightarrow{x}\)에 스칼라 값 \(\lambda \)를 곱한 값과 같다면 \(\lambda \)는 행렬 \(A\)의 고유값이라 할 수 있다.
\[A\overrightarrow{x} = \lambda \overrightarrow{x}\]
이때 벡터 \(\overrightarrow{x}\)는 고유값 \(\lambda \)에 대응하는 고유 벡터이다.
이때, 위 식은 행렬의 성질에 의해 다음과 같이 바꿀 수 있다.
\[(A-\lambda I)\overrightarrow{x} = 0\]
이때 \(I\)는 단위행렬이다.
여기서 위의 식이 성립하기 위한 필요충분조건은 \((A-\lambda I)\)가 역행렬이 존재하지 않아야 한다는 것이다. 왜냐하면 \((A-\lambda I)\)가 역행렬이 존재한다면 위의 식은 \(\overrightarrow{x}=0 \times (A-\lambda I)^{-1}\)이 되고, \(\overrightarrow{x}\)가 0이 되기 때문에 위의 고유 벡터의 정의에 모순이 생기기 때문이다.
따라서 고유 벡터를 가지기 위한 필요충분조건은 아래와 같다.
\[det(A-\lambda I) = 0\]
2. 예시를 통한 고유값과 고유 벡터 계산하기
다음과 같은 행렬 \(A\)가 있다고 가정하자.
\[A = \begin{bmatrix}2 & 1 \\1 & 2 \\\end{bmatrix}\]
이 행렬에 대해 고유값과 고유 벡터를 계산해 보자. 고유값과 고유벡터의 정의에 따라 고유값\(\lambda \)와 고유벡터 \(\overrightarrow{x}\)는 다음 식을 만족한다.
\[A\overrightarrow{x} = \lambda \overrightarrow{x}\]
또한 \(\overrightarrow{x}\)가 고유 벡터를 가지기 위해선 다음이 만족해야 한다.
\[det(A-\lambda I) = 0\]
그러므로, 아래 식에 따라
\[det(A-\lambda I) = det(\begin{bmatrix}2-\lambda & 1 \\1 & 2-\lambda \\\end{bmatrix}) = 0\]
\[\Rightarrow (2-\lambda )^2 -1\]
\[=\lambda ^2 -4\lambda + 3 = 0 \]
\(\lambda_1 = 1\), \(\lambda_2 = 3\) 이 된다.
즉, 선형 변환 \(A\)의 고유값은 1과 3이다. 즉, 선형 변환을 했을 때 크기는 변하고 방향이 변하지 않는 벡터가 있다고 할 때, 그 벡터의 크기는 각각 1배와 3배가 된다는 의미이다. 이제 고유 벡터를 찾아보도록 하자.
식 \(A\overrightarrow{x} = \lambda \overrightarrow{x}\)는 고유값 \(\lambda_1 = 1\), \(\lambda_2 = 3\)에 대해 모두 만족하여야 한다. 그러므로 \(\lambda_1 = 1\)인 경우에 대해
\[A\overrightarrow{x} = \lambda_1 \overrightarrow{x}\]
\[\Rightarrow \begin{bmatrix}2 & 1 \\1 & 2 \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \\\end{bmatrix} =1 \begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \\\end{bmatrix} \]
위의 식을 만족하여야 하므로 아래의 연립 방정식을 만족하여야 한다.
\[2x_1 + x_2 = x_1\]
\[x_1 + 2x_2 = x_2\]
그러므로 \(\lambda_1 = 1\)인 경우의 고유 벡터는 아래와 같고
\[\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1\\-1\\\end{bmatrix} \]
또한, 동일한 방법으로 \(\lambda_2 = 3\)인 경우의 고유 벡터는 아래와 같다.
\[\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1\\1\\\end{bmatrix} \]
기하학 적으로 이것을 다시 설명하면 \(\overrightarrow{x} = [1, 1]\) 벡터는 선형 변환 \(A\)를 취해주면 그 방향은 변하지 않고, 크기가 3배가 된다. 또, \(\overrightarrow{x} = [1, -1]\) 벡터는 선형변환 \(A\)를 취해주면 그 방향은 변하지 않고, 크기가 1배가 된다. 는 의미이다.
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