백준 - 1912번 - 연속합[파이썬(python)]

문제 출처 : https://www.acmicpc.net/problem/1912

1912번: 연속합

문제

n개의 정수로 이루어진 임의의 수열이 주어진다. 우리는 이 중 연속된 몇 개의 수를 선택해서 구할 수 있는 합 중 가장 큰 합을 구하려고 한다. 단, 수는 한 개 이상 선택해야 한다.

예를 들어서 10, -4, 3, 1, 5, 6, -35, 12, 21, -1 이라는 수열이 주어졌다고 하자. 여기서 정답은 12+21인 33이 정답이 된다.

 

입력

첫째 줄에 정수 n(1 ≤ n ≤ 100,000)이 주어지고 둘째 줄에는 n개의 정수로 이루어진 수열이 주어진다. 수는 -1,000보다 크거나 같고, 1,000보다 작거나 같은 정수이다.

 

출력

첫째 줄에 답을 출력한다.

 

구현 코드

from sys import stdin

n = int(input())
arr = list(map(int, stdin.readline().rstrip().split()))
dp = [0] * len(arr)
dp[0] = arr[0]

for i in range(1, len(arr)):
    dp[i] = max(arr[i], dp[i-1] + arr[i])
print(max(dp))

 

문제 해설

이 문제는 보텀업 방식과 DP테이블을 활용하여 전형적인 다이나믹 프로그래밍 문제이다. 

💡 보텀업(Bottom-Up)방식이란, 단순히 반복문을 사용하여 소스코드를 작성하여 작은 문제부터 차근차근 답을 도출하는 방법이다. 이때 사용되는 결과 저장용 리스트를 "DP테이블"이라고 부른다.

dp테이블에서 i 번째 요소가 arr[0]부터 arr[i]까지의 수열 중 arr[i]를 포함하여 생길 수 있는 부분 수열의 합 중 최댓값을 가지도록 문제를 풀면 된다.  

i = 0 일때는 수열의 길이가 하나이므로 부분 수열의 최대값은 그대로 arr의 0번째 요소가 된다.

위와 같은 방법으로 문제를 풀게 되면 점화식은 다음과 같다.

 

dp[i] = max(arr[i], dp[i-1]+arr[i])

 

예를 들어 arr = [10, -4, 3, 1, 5, 6, -35, 12, 21, -1] 일때

i = 1 이라면 dp[1]는 arr[1] = -4를 포함하는 부분 수열중 최대값을 저장한다. 이때 dp = [10, 6, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]이 된다.

i = 2 라면 dp[2]는 arr[2] = 3을 포함하는 부분 수열중 최대값을 저장한다. 이때 dp = [10, 6, 9, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0] 이 된다.

...

i = 6 인 경우 dp = [10, 6, 9, 10, 15, 21, -14, 0, 0, 0]

i = 7 인 경우 arr[7] = 12 이고, dp[6]+arr[7] = -2 이다. 이 경우는 arr[0]부터 arr[6]까지의 수열 중 arr[6]을 포함하는 부분수열의 최댓값에 arr[7]을 더한 값이 arr[7]보다 작기 때문에 arr[0]부터 arr[7]까지의 수열중 arr[7]을 포함하는 부분수열의 최대값은 arr[7]하나만 존재 했을때 최대가 된다. 이 경우 dp = [10, 6, 7, 10, 15, 21, -14, 12, 0, 0] 가 된다.

 

모든 루프를 다 돌았을 경우 dp = [10, 6, 7, 10, 15, 21, -14, 12, 33, 32]가 되는데 dp의 각 요소는 arr[0]부터 arr[i]까지의 수열 중 arr[i]를 포함하여 생길 수 있는 부분 수열의 합 중 최댓값이므로 이중 max값을 선택하면 arr전체에서 생길 수 있는 부분 수열의 합 중 최대값을 고를 수 있다.